Численный анализ и научные вычисления.
Будут разработаны методы конечных элементов на основе разрывных и непрерывных элементов для задач с сингулярностями. Проведен конечно-элементный анализ для мультифизичных задач с использованием схем расщепления. Проведен конечно-элементный анализ и апостериорные оценки ошибок для вариационных задач и неравенств. Будут рассмотрены различные варианты обратных задач и их постановок, которые также будут включать в себя байесовские обращения (обратные преобразования). Будут рассмотрены методы обращения, основанные на конвексификации для задач рассеивания. Изучены байесовские методы обращения для поровых сред (реактивные течения и пороэластичность) и разработаны многоуровневые Марковские цепи для методов Монте-Карло. Будут разработаны вычислительные алгоритмы для численного решения коэффициентных обратных задач для дифференциальных уравнений с частными производными. Будут предложены новые концепции понижения порядка и расширения локальных многомасштабных моделей, которые существенно расширят существующие методы, хорошо взаимодействуют с современными решателями и могут быть эффективно реализованы на современных компьютерных архитектурах. Разработка фундаментального понимания и построение аналитических и численных моделей пониженного порядка. Использование локализации базиса функций высокого контраста многомасштабных задач, анализ спектральной сходимости независящей от физических параметров и автоматическая адаптивность. Будут использованы методы глубокого обучения в сочетании с многомасштабными методами для разработки/модификации многомасштабных/расширенных моделей и для подготовки дискретных систем с грубой сеткой. Это позволит также уменьшить некоторые вычислительные сложности, связанные с многомасштабными методами для гетерогенных материалов. Будут разработаны многослойные остаточные сети для моделирования и обучения численных решения для уравнений в частных производных.